Question

如圖，把正三角形ABC分成有限個(gè)全等小正三角形，且在每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)上都放置一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對(duì)頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等．設(shè)點(diǎn)A為第一行，……，BC為第n行，記點(diǎn)A上的數(shù)為₁₁，…，第行中第個(gè)數(shù)為．若=1,=，=．

(1)求₃₁，₃₂，₃₃；

(2)試歸納出第n行中第m個(gè)數(shù)的表達(dá)式(用含，的式子表示，不必證明)；

(3)記,證明：．

Answer 1

解：(1)∵₁₁₃₂=_2l22，∴₃₂=．

∵₂₂₃₁=₂₁₃₂,．∴_3l=．

  　∵₂₁₃₃=₂₂₃₂,∴₃₃=．

  　∴₃₁=,₃₂=, ₃₃＝．

 　(2)由₁₁=1，₂₁=，₃₁=，

可歸納出₁₁，₂₁，₃₁，…，_n1是公比為的等比數(shù)列，

故_n1=

由₂₁=，₂₂=,₂₃=,₃₁=,₃₂=，

₃₃=．可歸納出_n1，_n2，_n3，…，_nm是公比為的等比數(shù)列，

故_nm =?，即

    (3)由(2)知

                =．

    ∵，∴

    ∴[1－]=

    又∵[1－]

      =4[1－]

      ≤[()ⁿ+1－]²=1

    ∴1≤≤4^n-1

∴≤++…+≤．