Question

已知函數(shù)．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）在（2）條件下，解不等式：．

Answer 1

解：（1）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=-=，
∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定義域R上恒成立
∴不論a為何實數(shù)f（x）總是R上的增函數(shù)；
（2）∵f（x）定義域為R，
∴若函數(shù)為奇函數(shù)時，f（0）=a-=0，即a=
當a=時，=，
∴f（-x）===-f（x），符合題意．
因此，當a=時，f（x）為奇函數(shù)；
（3）在（2）條件下，可得函數(shù)為奇函數(shù)且是R上的增函數(shù)
∴不等式，即
可得，即，解之得，
所以原不等式的解集為：{x|}．
分析：（1）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=，通過討論可得函數(shù)的導數(shù)在R上恒為正數(shù)，因此函數(shù)f（x）不論a為何實數(shù)總是為增函數(shù)；
（2）先用奇函數(shù)在R上有定義時，f（0）=0，解得a=，再利用奇函數(shù)的定義驗證，得到當a=時，f（x）為奇函數(shù)，符合題意；
（3）在（2）條件下，可得函數(shù)為奇函數(shù)且是R上的增函數(shù)，將原不等式變形為：，可得，解之即得原不等式的解集為：{x|}．
點評：本題借助于一個含有指數(shù)式的分式函數(shù)，研究了它的單調(diào)性與奇偶性，著重考查了基本初等函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．