Question

已知橢圓的長軸長為2a，焦點是F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，點F₁到直線x=-

a2

3

的距離為

3

3

，過點F₂且傾斜角為銳角的直線l與橢圓交于A，B兩點，使得

BF2

=3

F2A

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）首先由點F₁到直線x=-

a2

3

的距離為

3

3

列式求出a²的值，然后利用條件b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（2）設出直線l與橢圓兩個交點A，B的坐標，由

BF2

=3

F2A

得到兩個交點坐標的關系式，把兩個交點的坐標代入橢圓方程后可求其中一個交點的坐標，由兩點式求出直線l的斜率，則直線l的方程可求．

解答：解：（1）∵F₁到直線x=-

a2

3

的距離為

3

3

，∴|-

3

+

a2

3

|=

3

3

⇒a2=4．
而c²=3，∴b²=a²-c²=4-3=1，所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設A為第一象限的點，且F2(

3

，0)，
∵

BF2

=3

F2A

，∴

3 -x2=3(x1- 3 ) 0-y2=3(y1-0)

⇒

x2=4 3 -3x1 y2=-3y1

，
又∵A，B在橢圓

x2

4

+y2=1上，∴

x12+4y12=4 (4 3 -3x1)2+4(-3y1)2=4

⇒

x1= 10 3 3 y1= 2 3 3

（取正值），
∴l(xiāng)的斜率為k=

2 3 3 -0

10 3 3 - 3

=

2

．
∴l(xiāng)的方程為y=

2

(x-

3

)，即

2

x-y-

6

=0．

點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的交點問題，解答此題的關鍵是利用向量找到兩交點坐標的關系，考查了學生的運算能力，訓練了直線方程的點斜式，是中檔題．