Question

已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是它左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為y=x，問是否存在點(diǎn)P，使d、|PF₁|、|PF₂|成等比數(shù)列?若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.

Answer 1

解:假設(shè)存在點(diǎn)P(x₀,y₀)滿足題中條件.

∵雙曲線的一條漸近線為y=x,

∴=,b=a.

∴b²=3a²,c²－a²=3a²,=2,

即e=2.

由=2,得|PF₂|=2|PF₁|.                                             ①

∵雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為x=±,

∴|PF₁|=|2x₀+2·|=|2x₀+a|,

|PF₂|=|2x₀－2·|=|2x₀－a|.

∵點(diǎn)P在雙曲線的左支上，

∴|PF₁|=－(a+ex₀),|PF₂|=a－ex₀,代入①得a－ex₀=－2(a+ex₀).

∴x₀=－a,代入－=1，得y₀=±a.

∴存在點(diǎn)P使d、|PF₁|、|PF₂|成等比數(shù)列，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－a,±a).