Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知8sin²-2cos2A=7，且a=，b+c=5，求角A及△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：把已知等式的左邊兩項(xiàng)分別利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而求出cosA和sinA的值，利用余弦定理表示出cosA，配方后，把cosA，a及b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：由8sin²-2cos2A=7及A+B+C=π得：
4[1-cos（B+C）]-2（2cos²A-1）=7，
整理得：4[1+cosA]-4cos²A+2=7，即4cos²A-4cosA+1=0，
即（2cosA-1）²=0，
解得：cosA=，
∵0＜A＜π，∴A=，
由余弦定理得：cosA==，
∴（b+c）²-a²=3bc，
又a=，b+c=5，
∴bc=，
∴S_△ABC=bcsinA=××=．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．