Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)）
（1）當時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)有對稱中心為A（1，0），求證：函數(shù)的切線在切點處穿過圖象的充要條件是恰為函數(shù)在點A處的切線．（直線穿過曲線是指：直線與曲線有交點，且在交點左右附近曲線在直線異側）

Answer 1

（1）實數(shù)的取值范圍是：；（2）詳見試題解析．

試題分析：（1）由已知條件，構造函數(shù)，當時恒成立恒成立．利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性及最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）由已知，函數(shù)關于A（1，0）對稱，則是奇函數(shù)，由此可求出的值，進而得的解析式，利用導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點A處的切線，構造函數(shù)，，利用導數(shù)分別研究函數(shù)，的單調性，結合直線穿過曲線定義，證明充分性和必要性．
試題解析：（1）設，．令：，得或．
所以：當，即時，在是增函數(shù)，最小值為，滿足；當，即時，在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．所以最小值，故不合題意．所以實數(shù)的取值范圍是：             6分
（2）因為關于A（1，0）對稱，則是奇函數(shù)，所以，所以 ，則．若為A點處的切線則其方程為：，令，，所以為增函數(shù)，而所以直線穿過函數(shù)的圖象．                        9分
若是函數(shù)圖象在的切線，則方程：，設，則
，令得：，當時：，，從而處取得極大值，而，則當時，所以圖象在直線的同側，所在不能在穿過函數(shù)圖象，所以不合題意，同理可證也不合題意．所以（前面已證）所以即為點．所以原命題成立．                              14分