Question

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0時的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=f（3），∴函數(shù)圖象的對稱軸x==2，得b=4
又∵f（2）=-4+4×2+c=2，∴c=-2
（2）由（1）得當(dāng)x＞0時f（x）=-x²+4x+2，
當(dāng)x＜0時，f（-x）=-（-x）²+4（-x）+2=-x²-4x+2，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）=x²+4x-2．
分析：（1）根據(jù)f（1）=f（3）得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，結(jié)合拋物線對稱軸的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．
（2）當(dāng)x＜0時，-x是正數(shù)，代入題中正數(shù)范圍內(nèi)的表達(dá)式得到f（-x）的式子，再結(jié)合f（x）是奇函數(shù)，取相反數(shù)即可得到f（x）在x＜0時的表達(dá)式．
點評：本題給出二次函數(shù)的對應(yīng)值，求函數(shù)表達(dá)式，并且在函數(shù)為奇函數(shù)的情況下求x＜0時的表達(dá)式．著重考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)解析式的求解及常用方法，屬于基礎(chǔ)題．