在長(zhǎng)方體中，，，為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）先證平面（Ⅱ）（Ⅲ）的長(zhǎng).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接∵是長(zhǎng)方體，∴平面，又平面 ∴    

在長(zhǎng)方形中， ∴     

又∴平面，    

而平面∴      

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

,  

設(shè)平面的法向量為，則    令，則  ,

       

所以 與平面所成角的正弦值為                

（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得∥平面.

設(shè)的坐標(biāo)為，則 因?yàn)?nbsp;∥平面

所以 ，即， ，解得，        

所以 在棱上存在一點(diǎn)，使得∥平面,此時(shí)的長(zhǎng). 

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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7
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6
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

 

(II)求二面角的余弦值.

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