(本題滿分14分)設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),函數(shù)
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(Ⅰ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是
和
,單調(diào)遞減區(qū)間是
.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,然后對(duì)于分段函數(shù)各段的情況分別說明單調(diào)性,整體來合并得到結(jié)論。
(2)當(dāng)時(shí),
,
故當(dāng)時(shí),
,二次函數(shù)對(duì)稱軸
,那么結(jié)合二次函數(shù)的
性質(zhì)可知頂點(diǎn)的函數(shù)值為正數(shù),負(fù)數(shù),還是零,來確定零點(diǎn)的問題。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
① 當(dāng)時(shí),
,∴
在
上單調(diào)遞增;
② 當(dāng)時(shí),
,
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
綜上所述,的單調(diào)遞增區(qū)間是
和
,單調(diào)遞減區(qū)間是
.
(Ⅱ)(1)當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
的零點(diǎn)為
;
(2)當(dāng)時(shí),
,
故當(dāng)時(shí),
,二次函數(shù)對(duì)稱軸
,
∴在
上單調(diào)遞增,又
,f(x)與x軸在
有唯一交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
,二次函數(shù)對(duì)稱軸
,
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;∴
,
當(dāng)
,即
時(shí),函數(shù)
與
軸只有唯一交點(diǎn),即唯一零點(diǎn),
當(dāng)
,即
時(shí),函數(shù)
與
軸有兩個(gè)交點(diǎn),即兩個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)
,即
時(shí),f(a)<0,函數(shù)
與
軸有三個(gè)交點(diǎn),即有三個(gè)零點(diǎn)
綜上可得,當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
考點(diǎn):本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)的運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于參數(shù)的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點(diǎn),也是該試題一個(gè)難點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)
設(shè)函數(shù),
。
(1)若,過兩點(diǎn)
和
的中點(diǎn)作
軸的垂線交曲線
于點(diǎn)
,求證:曲線
在點(diǎn)
處的切線
過點(diǎn)
;
(2)若,當(dāng)
時(shí)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(2)求
在[—1,2]上的最小值; (3)當(dāng)
時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011——2012學(xué)年湖北省洪湖二中高三八月份月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1與
F2,直線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),若
的周長為
。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線
,直線
與曲線
相切
且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若,求
面積的取值范圍。(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)卷三 題型:解答題
(本題滿分14分)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:“①方
有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)
滿足
”
(I)證明:函數(shù)是集合M中的元素;
(II)證明:函數(shù)具有下面的性質(zhì):對(duì)于任意
,都存在
,使得等式
成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省揭陽市高三調(diào)研檢測數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
本題滿分14分)
設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值;
(2)若,試確定
的單調(diào)性;
(3)記,且
在
上的最大值為M,證明:
.
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