Question

已知y=log_a（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）

A.（0，1）  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   B.（1，2）　　

C.（0，2）　　 　　　　　　　　　　　　　　   D.［2，＋∞）

 

Answer 1

答案：B
提示：

解法一：先求函數(shù)的定義域，由2－ax＞0，有ax＜2，因?yàn)?i>a是對(duì)數(shù)的底，故有a＞0，于是得函數(shù)的定義域x≤，又函數(shù)的遞減區(qū)間［0，1］必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，故有1＜，從而a＜2. 若1＜a＜2，當(dāng)x在［0，1］上增大時(shí)，2－ax減小，從而loga（2－ax）減小，即函數(shù)y=loga（2－ax）在［0，1］上是單調(diào)遞減的； 若0＜a＜1，當(dāng)x在［0，1］上增大時(shí)，2－ax減小，從而loga（2－ax）增大，即函數(shù)y=loga（2－ax）在［0，1］上是單調(diào)遞增的. 所以a的取值范圍應(yīng)是（1，2），故選擇B. 解法二：因a是對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，故a＞0，且a≠1，排除C；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，真數(shù)2－ax＞0，取x=1，得a＜2，排除D.取a=時(shí)，函數(shù)y=log（2－），在區(qū)間［0，1］上，（2－）是x的減函數(shù)，故y是x的增函數(shù)，排除A，得B. 解法三：當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，若0≤x1＜x2≤1，則2－ax1＞2－ax2＞0，故loga（2－ax1）＜loga（2－ax2），即y=loga（2－ax）在［0，1］上是x的增函數(shù)，排除A、C.當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y在x=1處無定義，排除D，得B. 解法四：取a=，x1=0，x2=1，則有loga（2－ax1）=log2，loga（2－ax2）=log，可排除A、C；取a=3，x=1，則2－ax=2－3＜0，又y在x=1處有意義，故a≠3，排除D，得B. 解法五：因?yàn)?i>a是對(duì)數(shù)的底．故有a＞0，∴u=2－ax是減函數(shù) 又∵y=loga（2－ax）是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知y=logau是增函數(shù)， ∴a＞1 又∵0≤x≤1，∴0≤ax≤a，0≥－ax≥－a，2≥2－ax≥2－a 又∵2－ax＞0，∴2－a＞0，∴a＜2，∴1＜a＜2． 解法六：因?yàn)?i>a是對(duì)數(shù)的底數(shù)，故有a＞0，∴u=2－ax是減函數(shù)，又y=loga（2－ax）是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性，可知y=logau是增函數(shù)，∴a＞1，又2－ax＞0，ax＜2， x∈［0，1］ 當(dāng)x≠0時(shí)，a＜，而對(duì)x∈（0，1］中每一值不等式都成立，a只需要小于其最小值即可，故a＜2，∴1＜a＜2，∴u=2－ax是減函數(shù)，∴y=loga（2－ax）是減函數(shù).