已知函數(shù)數(shù)學公式
（1）求證函數(shù)f（x）在（2，4）上為增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大值和最小值，并求出值域．

解：（1）設x1，x2∈（2，4），且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）==，
因為x1，x2∈（2，4），且x1＜x2，
所以x1-x20，x2-1＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）為增函數(shù)．
（2）由（1）知：f（x）為[2，4]上的增函數(shù)，
所以f（x）的最大值為fmax=f（4）=-；f（x）的最小值為fmin（x）=f（2）=-1．
所以f（x）的值域為[-1，-]．
分析：（1）利用函數(shù)單調性的定義即可證明；
（2）由（1）知f（x）的單調性，據(jù)單調性即可求得函數(shù)最大值、最小值，進而得到其值域；
點評：本題考查函數(shù)單調性的證明及其應用，考查函數(shù)最值的求法，證明單調性常用的方法：①用定義；②用導數(shù)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω1，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω2．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求實數(shù)h的取值范圍；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求證：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定義集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請問：是否存在常數(shù)M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：函f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）若定義在（-2，2）上的函數(shù)f（x）滿足f（-m）+f（1-m）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3（x2-2mx+2m2+
9m2-3
）的定義域為R．
（1）求實數(shù)m的取值集合M；
（2）求證：對m∈M所確定的所有函數(shù)f（x）中，其函數(shù)值最小的一個是2，并求使函數(shù)值等于2的m的值和x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω1，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω2．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求實數(shù)h的取值范圍；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求證：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定義集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請問：是否存在常數(shù)M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省揚州中學高三（下）開學檢測數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若y=在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω1，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω2．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求實數(shù)h的取值范圍；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，
xabca+b+c
f（x）ddt4
求證：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定義集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請問：是否存在常數(shù)M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

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