在如圖所示的空間幾何體中，平面平面

=,和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上.

（I）求證：平面

（II）求二面角的余弦值

 

【答案】

（I）見解析     (II)二面角的余弦值為

【解析】(1)證線面平行的關(guān)鍵是證線線平行，取的中點作平面交平面于點根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和等邊三角形的性質(zhì)證出即證出平面

（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的一個法向量，把二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩個法向量的夾角的余弦值求解，注意二面角是銳角還是鈍角

解：（I）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形，取的中點連接，則

平面平面平面作平面交平面于點

而點落在上，

四邊形是平行四邊形，平面……………………6分

 (II)依題意，建立如圖空間坐標系

則，求得平面的一個法向量

設(shè)平面的一個法向量為，

二面角的余弦值為

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的空間幾何體中，△ABC，△ACD都是等邊三角形，AE=CE，DE∥平面ABC，平面ACD⊥平面ABC．
（1）求證：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角為
π
3
，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=
3
-1．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求多面體ABCDE的體積．

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