Question

如圖，已知：射線OA為，射線OB為，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在的內(nèi)部，于M，于N，四邊形ONPM的面積恰為k.  
（1）當(dāng)k為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y=f（x）的解析式；  
（2）根據(jù)k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域。

Answer 1

解：（1）設(shè)M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
則|OM|=，|ON|=。
由動(dòng)點(diǎn)P在∠AOx的內(nèi)部，得0<y<kx.
∴|PM|==，|PN |==
∴（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-( a -b)y=2k          ①
又由k_PM= -=， k_PN==，
分別解得，
代入①式消a、b，并化簡(jiǎn)得x²-y²=k²+1。 
 ∵y>0，
∴
（2）由0<y<kx，得  0<<kx
       (*)
當(dāng)k=1時(shí)，不等式②為0<2恒成立，
∴(*)x>。
當(dāng)0<k<1時(shí)，由不等式②得。
當(dāng)k>1時(shí)，由不等式②得
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點(diǎn)不能組成四邊形，
所以還必須滿足條件：，
將它代入函數(shù)解析式，得
解得 (k>1).
綜上：當(dāng)k=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x>}；
當(dāng)0<k<1時(shí)，定義域?yàn)閧x|};
當(dāng)k>1時(shí)，定義域?yàn)閧x|}.