Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E、F分別是AB、CD上的點，

EF∥BC，AE＝x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖)．

(1)當x＝2時，求證：BD⊥EG；

(2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3)當f(x)取得最大值時，求二面角D－BF－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(法一)∵平面平面，AE⊥EF，∴AE⊥面平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E－xyz． 　　則A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)，D(0，2，2)，E(0，0，0) 　　 　　由平面平面知：DH⊥平面EBCF， 　　而EG平面EBCF，故EG⊥DH． 　　又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH， 　　BHDH＝H，故EG⊥平面DBH， 　　而BD平面DBH，∴EG⊥BD　　4分 　　(或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果) 　　(2)∵AD∥面BFC， 　　所以VA－BFC＝＝ 　　，即時有最大值為　　8分 　　(3)(法一)設平面DBF的法向量為，∵AE＝2，B(2，0，0)，D(0，2，2)， 　　F(0，3，0)，∴(－2，2，2)， 　　則， 　　即， 　　取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 　　面BCF的一個法向量為 　　則cos＜＞＝． 　　由于所求二面角D－BF－C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為：－　　12分 　　(法二)作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM． 　　由三垂線定理知BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D－BF－C的平面角的補角． 　　由△HMF∽△EBF，知，而HF＝1，BE＝2，，∴HM＝． 　　又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH＝－， 　　因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝， 　　而∠DMH是二面角D－BF－C的平面角的補角， 　　故二面角D－BF－C的余弦值為－．