Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為10，f(x)的圖象過點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式.

Answer 1

解析：要求的函數(shù)是二次函數(shù)，一般可設(shè)其為f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)，然后根據(jù)已知條件求出系數(shù)a、b、c，從而求得該二次函數(shù).由于本題條件f(2+x)=f(2-x)隱含著函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故可設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x-2)²+k.

答案：∵f(2+x)＝f(2-x)，

∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.?

于是，設(shè)f(x)＝a(x-2)²+k(a≠0)，則由f(0)＝3，可得k＝3-4a，

∴f(x)＝a(x-2)²+3-4a＝ax²-4ax+3.

∵ax²-4ax+3＝0的兩實(shí)根的平方和為10，?

∴10＝x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2x₁x₂＝16-.?

∴a=1.?

∴f(x)＝(x-2)²-1＝x²-4x+3.