Question

12．如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長為a_i（i=1，2，3，4），此四邊形內(nèi)在一點P到第i條邊的距離記為h_i（i=1，2，3，4），若$\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{3}=\frac{a_3}{5}=\frac{a_4}{7}$=k，則h₁+3h₂+5h₃+7h₄=$\frac{2S}{k}$．類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為H_i（i=1，2，3，4），若$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=K，H₁+3H₂+5H₃+7H₄=（　�。�

• A． $\frac{V}{2K}$
• B． $\frac{2V}{K}$
• C． $\frac{3V}{K}$
• D． $\frac{V}{3K}$

Answer 1

分析 對三棱錐得體積可分割為4個已知底面積和高的小棱錐求體積，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)三棱錐的體積公式V=$\frac{1}{3}Sh$
得：$\frac{1}{3}$S₁H₁+$\frac{1}{3}$S₂H₂+$\frac{1}{3}$S₃H₃+$\frac{1}{3}$S₄H₄=V，
即S₁H₁+S₂H₂+S₃H₃+S₄H₄=3V，
∵$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{3}=\frac{S_3}{5}=\frac{S_4}{7}$=k，
∴H₁+3H₂+5H₃+7H₄=$\frac{3V}{k}$，
故選C．

點評 本題主要考查三棱錐的體積計算和運用類比思想進行推理的能力．解題的關(guān)鍵是理解類比推理的意義，掌握類比推理的方法．平面幾何的許多結(jié)論，可以通過類比的方法，得到立體幾何中相應(yīng)的結(jié)論．當(dāng)然，類比得到的結(jié)論是否正確，則是需要通過證明才能加以肯定的．