Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線(xiàn)的斜率為1．（e為無(wú)理數(shù)，e=271828…）
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥mx²，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

（i，n∈N₊）．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與曲線(xiàn)的關(guān)系求得a，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得最小值；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最小值，即可得出結(jié)論；
（3）構(gòu)造函數(shù)p（x）=

lnx

x2

，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，即

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），利用不等式放縮及裂項(xiàng)相消法即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線(xiàn)的斜率為1，
∴f′（ln2）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0時(shí)，f′（x）＜0，x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=0時(shí)，函數(shù)有極小值，即為最小值，最小值為0；
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）-mx²，則g′（x）=e^x-1-2mx，
設(shè)h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，則h′（x）=e^x-2m，
①m≤

1

2

時(shí)，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，滿(mǎn)足題意；
②m＞

1

2

時(shí)，x∈[0，ln2m）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是減函數(shù)，∴g（ln2m）≤g（0）=0，不滿(mǎn)足題意；
綜上所述，m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．
（Ⅲ）證明：令p（x）=

lnx

x2

，∴p′（x）=

1-2lnx

x3

，由p′（x）=0得，x=

e

，
∴當(dāng)x=

e

時(shí)函數(shù)P（x）有最大值p（

e

）=

1

2e

，∴

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），
∴

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

•（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=

1

2e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2e

（1-

1

n

）＜

1

2e

，
即

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題、研究函數(shù)的單調(diào)性最值等知識(shí)，考查不等式的證明方法放縮法及裂項(xiàng)求和法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．