(2012•湛江模擬)已知函數(shù)f(x)=
3
sin3x+cos3x+a
過點(
π
3
,0)

(1)求a的值及函數(shù)y=f(x)的最小正周期;
(2)若β∈[0,
π
3
]
f(
β
3
)=2
,求cos(β+
π
6
)
的值.
分析:(1)由函數(shù)圖象過(
π
3
,0),將此點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,利用特殊角的三角函數(shù)值化簡,求出a的值確定出f(x)解析式,找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期;
(2)由f(
β
3
)=2及函數(shù)解析式,得到sin(β+
π
6
)的值,由β的范圍求出β+
π
6
的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos(β+
π
6
)的值.
解答:解:(1)依題意將(
π
3
,0)代入函數(shù)解析式得:
3
sin(3×
π
3
)+cos(3×
π
3
)+a=0,
解得:a=1,
∴f(x)=
3
sin3x+cos3x+1=2sin(3x+
π
6
)+1,
∵ω=3,
∴T=
3
;
(2)∵f(
β
3
)=2sin(3×
β
3
+
π
6
)+1=2,
∴sin(β+
π
6
)=
1
2
,
∵β∈[0,
π
3
],∴β+
π
6
∈[
π
6
,
π
2
],
∴cos(β+
π
6
)=
1-sin2(β+
π
6
)
=
3
2
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,三角函數(shù)的周期性及其求法,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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