Question

用數(shù)學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：直接利用數(shù)學歸納法證明問題的步驟，證明不等式即可．

解答： 證明：（1）當n=2時，

1

2+1

+

1

2+2

=

14

24

，

14

24

＞

13

24

命題成立．
（2）假設(shè)當n=k時，

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

＞

13

24

成立
當n=k+1時，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

＞

13

24

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

，
∵

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=

1

2(2k+1)(k+1)

＞0，
∴

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+

1

(k+1)+3

+…+

1

2(k+1)

＞

13

24

，
當n=k+1時命題成立．
所以對于任意n≥2，n∈N^*都成立．

點評：本題考查數(shù)學歸納法證明含自然數(shù)n的表達式的證明方法，注意n=k+1的證明時，必須用上假設(shè)．