Question

已知兩個(gè)非零向量

a

=(m-1，n-1)，

b

=(m-3，n-3)，且

a

與

b

的夾角是鈍角或直角，則m+n的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  ，3

  2

  ]
• B、[2，6]
• C、(

  2

  ，3

  2

  ]
• D、（2，6）

Answer 1

分析：由題意得，

a

•

b

≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，點(diǎn)（m，n）在以（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓面上，
包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個(gè)交點(diǎn)，令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，則m+n=4+2sin（θ+

π

4

），
由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，從而求得m+n 的范圍．

解答：解：∵

a

與

b

的夾角是鈍角或直角，∴

a

•

b

≤0，∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即 （m-2）²+（n-2）²≤2，故點(diǎn)（m，n）在以（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓面上，
包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個(gè)交點(diǎn)（否則兩個(gè)向量共線）．
可令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，則 sinθ和cosθ 不能相等或相反，∴-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，
∴m+n=4+2sin（θ+

π

4

）∈（2，6），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，正弦函數(shù)的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解題的關(guān)鍵．