Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（常數(shù)a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）證明：e^a＞a；
（2）當(dāng)a＞2e時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點的個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）求出g′（x）=e^x-1令其等于零找出函數(shù)的穩(wěn)定點，得到當(dāng)x＞0時，g′（x）=e^x-1＞0，推出g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，因為a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0即e^a-a＞0，得證即可；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值．判斷出最大值大于0，最小值小于零，則最值之間有零點．找出零點個數(shù)即可．

解答：（1）證明：得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=0得到x=0
當(dāng)x＞0時，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）解：因為f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當(dāng)0＜x＜

2a

2

時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞

2a

2

時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f(x)min=f(

2a

2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)．
又由（1）得

a

2

＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)?

2a

2

＜ea，
且當(dāng)a＞2e時，

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而f（1）=1＞0，f（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
當(dāng)a＞2e時，f(x)min=f(

2a

2

)=

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，
所以，當(dāng)a＞2e時，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上有兩個零點．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力．掌握確定函數(shù)零點的方法．