Question

在銳角△ABC中，滿足2cos²

A

2

=

3

sin A；（1）求角A的大小；（2）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理求出tan

A

2

的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由A的度數(shù)得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可．

解答： 解：（1）∵2cos²

A

2

=

3

sinA=2

3

sin

A

2

cos

A

2

，且cos

A

2

≠0，
∴cos

A

2

=

3

sin

A

2

，即tan

A

2

=

3

3

，
∴

A

2

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）∵A=

π

3

，
∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=

3

sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
則sinB+sinC的范圍為（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．