Question

已知定義在實(shí)數(shù)R上的函數(shù)y＝f（x）不恒為零，同時(shí)滿足f（x＋y）＝f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，那么當(dāng)x＜0 時(shí)，一定有（    ）

　　A．f（x）＜－1

　　B．－1＜f（x）＜0

　　C．f（x）＞1

　　D．0＜f（x）＜1

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可得，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，有 　　  ， 即． （Ⅱ）答：函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件，驗(yàn)證如下：g（－1）＝0＝g（1）．  對(duì)任意的， 　　  當(dāng)時(shí)，有|g（u）－g（v）|＝|（1－u）－（1－v）|＝|u－v|； 　　  當(dāng)時(shí)，同理有|g（u）－g（v）|＝|u－v|； 　  　當(dāng)u·v<0時(shí)，不妨設(shè)u∈[－1，0]，v∈（0，1]， 有|g（u）－g（v）|＝|（1＋u）－（1－v）|＝|u＋v|≤|v－u|． 　　  所以，函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件． （Ⅲ）答：這樣的函數(shù)不存在．理由如下： 　　  假設(shè)存在f（x）滿足條件，則由f（－1）＝f（1）＝0 ， 得| f（1）－f（－1）|=0          ① 　　  由于對(duì)任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|＝|u－v|， 　　  所以，|f（1）－f（－1）|＝|1－（－1）|＝2．  ②  ①與②矛盾，因此假設(shè)不成立， 即這樣的函數(shù)不存在．