Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

），其中ABC為△ABC的內角，且∠C-∠B=∠B-∠A．求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數量積運算、夾角公式即可得出；
（2）向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，可得

n

=（0，-1）．利用∠C-∠B=∠B-∠A，可得∠B=

π

3

．向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

）=（cosA，1+cosC），可得

n

+

p

=（cosA，cosC）．于是|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，利用C∈(0，

2π

3

)，可得cos(

2π

3

-2C)∈[-

1

2

，1]．即可得出．

解答： 解：（1）設

n

=（x，y），∵向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
∴cos

3π

4

=

m • n

| m || n |

=

-1

2 | n |

，x+y=-1．
∴|

n

|=1=

x2+y2

，x+y=-1，
解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

．
∴

n

=（0，-1）或（-1，0）．
（2）∵向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，∴

n

=（0，-1）．
∵∠C-∠B=∠B-∠A，A+B+C=π，
∴∠B=

π

3

．
向量

p

=（cosA，2co²s

C

2

）=（cosA，1+cosC），
∴

n

+

p

=（cosA，cosC）．
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

，
∵C∈(0，

2π

3

)，∴(

2π

3

-2C)∈(-

2π

3

，

2π

3

)，
∴cos(

2π

3

-2C)∈[-

1

2

，1]．
∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

]．
∴|

n

+

p

|的取值范圍是[

2

2

，

5

2

]．

點評：本題考查了向量的數量積運算性質、夾角公式、倍角公式、和差化積、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．