上圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3.
(1)設(shè)點O是AB的中點,證明:OC∥平面A1B1C1;
(2)求二面角B—AC—A1的大��;
(3)求此幾何體的體積.
解法一:
(1)證明:作OD//AA1交A1B1于D,連C1D.
則OD//BB1//CC1.
因為O是AB的中點,所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1.
則ODC1C是平行四邊形,因此有OC//C1D,
C1D平面C1B1A1且OC
平面C1B1A1,則OC//平面A1B1C1.
(2)如圖,過B作截面BA2C2//面A1B1C1,分別交AA1、CC1于A2、C2,
作BHA2C2于H,連CH.
因為CC1面BA2C2,所以CC1
BH,則BH
平面A1C.
又因為,
,
,
所以BCAC,根據(jù)三垂線定理知CH
AC,所以∠BCH就是所求二面角的平面角.
因為,所以
,故
,
即:所求二面角的大小為
(3)因為,所以
所求幾何體體積為.
解法二:(1)如圖,以B1為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,4),B(0,0,2)C(1,0,3),因為O是AB的中點,所以O(0,,3),
.
易知,是平面A1B1C1的一個法向量。
因為 OC
平面A1B1C1 所以OC//平面A1B1C1.
(2),
,
設(shè)是平面ABC的一個法向量,則由
得:
,
取x=-z=1,.顯然,
為平面AA1C1C的一個法向量,
則,結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角.
所以二面角B-AC-A1的大小是。
(3)同解法一.
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