20.

上圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3.

(1)設(shè)點O是AB的中點,證明:OC∥平面A1B1C1;

(2)求二面角B—AC—A1的大��;

(3)求此幾何體的體積.

解法一:

(1)證明:作OD//AA1A1B1D,連C1D.

OD//BB1//CC1.

因為OAB的中點,所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1.

ODC1C是平行四邊形,因此有OC//C1D,

C1D平面C1B1A1OC平面C1B1A1,OC//平面A1B1C1.

(2)如圖,過B作截面BA2C2//面A1B1C1,分別交AA1、CC1A2C2,

BHA2C2H,連CH.

因為CC1BA2C2,所以CC1BH,則BH平面A1C.

又因為,,,

所以BCAC,根據(jù)三垂線定理知CHAC,所以∠BCH就是所求二面角的平面角.

因為,所以,故,

即:所求二面角的大小為

(3)因為,所以

所求幾何體體積為.

解法二:(1)如圖,以B1為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,4),B(0,0,2)C(1,0,3),因為O是AB的中點,所以O(0,,3),.

易知,是平面A1B1C1的一個法向量。

因為 OC平面A1B1C1  所以OC//平面A1B1C1.

(2),,

設(shè)是平面ABC的一個法向量,則由得:,

x=-z=1,.顯然,為平面AA1C1C的一個法向量,

,結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角.

所以二面角B-AC-A1的大小是。

(3)同解法一.

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