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15.如圖,在四棱錐P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于點M.
(1)求證:AM⊥PD
(2)求點D到平面ACM的距離.

分析 (1)推導出AB⊥AD,AB⊥PA,從而AB⊥平面PAD,由BM⊥PD,PD⊥平面ABM,AM⊥PD.
(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出點D到平面ACM的距離.

解答 證明:(1)∵在四棱錐P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥AD,AB⊥PA,
∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,
∵BM⊥PD于點M,AB∩BM=B,
∴PD⊥平面ABM,
∵AM?平面ABM,∴AM⊥PD.
解:(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,
建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),
D(0,2,0),M(0,1,1),
AD=(0,2,0),AC=(1,2,0),AM=(0,1,1),
設平面ACM的法向量n=(x,y,z),
{nAC=x+2y=0nAM=y+z=0,取x=2,得n=(2,-1,1),
∴點D到平面ACM的距離:
d=|nAD||n|=26=63

點評 本題考查線線垂直的證明,考查點到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習冊系列答案
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