Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓O上異于點A，B的點，邊長為4的正方形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面．
（1）求證：EB⊥ED；
（2）若平面ECD與半圓弧的另一個交點為F．
（Ⅰ）證明：EF∥AB；
（Ⅱ）若EF=2，求三棱錐E-BFC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由圓的性質得AE⊥BE，由面面垂直性質定理得AD⊥平面ABE，從而AD⊥BE，進而BE⊥平面ADE，由此能證明EB⊥ED．
（2）（Ⅰ）由CD∥AB，得CD∥平面ABE，根據線面平行的性質定理得CD∥EF，又CD∥AB，由此能證明EF∥AB．
（Ⅱ）取AB中點O，EF的中點O′，由V_E-ADF=V_D-AEF，利用等積法能求出三棱錐E-BEC的體積．

解答： （1）證明：∵E是半圓上異于A，B的點，
∴AE⊥BE，又∵平面ABCD⊥平面ABE，且AD⊥AB，
由面面垂直性質定理得AD⊥平面ABE，
又BE?平面ABE，∴AD⊥BE，
∵AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，
又DE?平面ADE，∴EB⊥ED．（4分）
（2）（Ⅰ）證明：∵CD∥AB，
且CD?平面ABE，AB?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
又∵平面CDE∩平面ABE=EF，
∴根據線面平行的性質定理得CD∥EF，又CD∥AB，
∴EF∥AB．（8分）
（Ⅱ）解：∵EF=2，取AB中點O，EF的中點O′，
∴在Rt△OO′F中，OF=2，O′F=1，∴OO′=

3

，
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴V_E-ADF=V_D-AEF=

1

3

S_△AEF•AD=

1

3

×

1

2

•EFEF•OO′•AD=

1

3

×

1

2

×2×

3

×4=

4 3

3

．
∴三棱錐E-BEC的體積為

4 3

3

．（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與直線平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．