Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大�。�
（Ⅲ）求點E到平面A₁BCD₁的距離．

Answer 1

分析：因為是一個長方體，很容易建立空間直角坐標系，（I）先求得相關點的坐標A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（

3

2

，

3

2

，0)，從而得到向量的坐標

A1C

=(3，3，-4)，

EO

=(

3

2

，

3

2

，-2)，然后由共線向量定理證明即可．
（II）分別求得二個半平面的一個法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，則

AE

=(0，0，2)就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一個法向量為，用向量的夾角公式求解．
（III）先求平面A₁BCD₁的法向量，再由點E和平面內一點構建向量，利用向量距離公式求解．

解答：解：（I）如圖建立空間直角坐標系，取BD的中點O，
連接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（

3

2

，

3

2

，0)（2分）

A1C

=(3，3，-4)，

EO

=(

3

2

，

3

2

，-2)，
∵

A1C

=2

EO

，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（II）由于AE⊥平面ABCD，
則

AE

=(0，0，2)就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），

BE

=(-3，0，2)，

BD

=(-3，3，0)
設平面EBD的法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • BE =0 n • BD =0

得

-3x+2z=0 -3x+3y=0.

令z=3，則

n

=(2，2，3)．（7分）
cos＜

n

，

AE

＞=

n • AE

| n |•| AE |

=

6

2 17

=

3 17

17

．
∴二面角E-BD-A的大小為arrccos

3 17

17

．（9分）
（III）D₁（0，3，4），則

A1D1

=(0，3，0)，
設平面A₁BCD₁的法向量為

m

=(x′，y′，z′)．

m • A1D1 =0 m • A1C =0.

即

3y′=0 3x′+3y′-4z′=0.

解得

y′=0 x′= 4 3 z′

令z'=3，則

m

=（-4，0，-3）．
即點E到平面A₁BCD₁的距離是

6

5

．
又

CE

=(-3，-2，2)，h=|

n • CE

| m |

|=

6

5

．（14分）

點評：本題主要考查用空間坐標法來求二面角，線面平行，點到平面的距離等，作為向量法在解決立體幾何中的平行，垂直，角和距離有不可比擬的優(yōu)越性，要靈活運用．