已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)(n∈N*,q是大于0的常數(shù),且q≠1),數(shù)列{bn}是公比不為q的等比數(shù)列,cn=an+bn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)q=2,bn=3n,是否存在實(shí)數(shù)λ,使數(shù)列{cn+1+λcn}是等比數(shù)列?若存在,求出所有可能的實(shí)數(shù)λ的值,若不存在說明理由;
(Ⅲ)數(shù)列{cn}是否能為等比數(shù)列?若能,請給出一個(gè)符合的條件的q和bn的組合,若不能,請說明理由.
(Ⅰ)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
q
q-1
(an-1)-
q
q-1
(an-1-1)
,
整理得an=qan-1
又由S1=a1=
q
q-1
(a1-1)
,得a1=q
結(jié)合q>0知,數(shù)列an是首項(xiàng)為q公比為q的等比數(shù)列,
∴an=q•qn-1=qn
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)知,當(dāng)q=2時(shí),an=2n,所以cn=2n+3n
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使數(shù)列cn+1+λcn是等比數(shù)列,則對任意n≥2有
(cn+1+λcn2=(cn+2+λcn+1)(cn+λcn-1),將cn=2n+3n代入上式,得:
[2n+1+3n+1+λ(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2+λ(2n+1+3n+1)]•[2n+3n+λ(2n-1+3n-1)],
即[(2+λ)2n+(3+λ)3n]2=[(2+λ)2n+1+(3+λ)3n+1][(2+λ)2n-1+(3+λ)3n-1],
整理得
1
6
(2+λ)(3+λ)•2n•3n=0,解得λ=-2或λ=-3.
故存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)λ=-2或-3,使使數(shù)列cn+1+λcn是等比數(shù)列.
(Ⅲ)數(shù)列{cn}不可能為等比數(shù)列.
理由如下:設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比分別為p,則由題設(shè)知p≠q,則cn=qn+b1pn-1
為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1•c3
事實(shí)上,c22=(q2+b1p)2=q4+2q2b1p+b12p2,①
c1•c3=(q+b1)(q3+b1p2)=q4+b12p2+b1q(p2+q2),.②
②-①得
c1c3-c22=b1q(p2+q2-2pq)
由于p≠q時(shí),p2+q2>2pq,又q及等比數(shù)列的首項(xiàng)b1均不為零,
所以c1c3-c22≠0,即c22≠c1•c3.故{cn}不是等比數(shù)列.
練習(xí)冊系列答案
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A.1或-1B.-1C.1D.2

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若x,a,2x,b成等比數(shù)列,則
a
b
的值為( 。
A.
1
2
B.
2
C.2D.
2
2

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設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)的和為Sn,則
S4
a3
的值為______.

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已知等比數(shù)列{an}的公比為q,且a1,a3,a2成等差,則公比q的值為( 。
A.1或-
1
2
B.1C.-
1
2
D.-2

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