Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x²+y²=-2y+3，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x-y+1=0垂直，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB的面積為（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,三角形的面積公式

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心為C（0，-1）、半徑為2．由垂直的兩直線斜率的關(guān)系算出直線l的斜率為1，可得l的方程為x+y-1=0，進(jìn)而算出圓心C到l的距離d=

2

，再根據(jù)垂徑定理算出l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|=2

2

．最后由點(diǎn)到直線的距離公式算出原點(diǎn)O到AB的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可算出△OAB的面積．

解答： 解：∵圓C的方程為x²+y²=-2y+3，∴化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得x²+（y+1）²=4，
由此可得圓的圓心為C（0，-1）、半徑為2．
∵直線x-y+1=0的斜率為1且與直線l垂直，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴直線l的斜率為k=-1，可得直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0．
因此，圓心C到直線l的距離d=

|0-1-1|

2

=

2

．
∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|=2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

，
又∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到AB的距離為d'=

|0+0-1|

2

=

2

2

，
∴△OAB的面積為S=

1

2

|AB|×d'=

1

2

×2

2

×

2

2

=1．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的直線與圓，求直線被圓截得的弦AB與原點(diǎn)O構(gòu)成三角形的面積．著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．