Question

點(diǎn)P是拋物線y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=2x+5的最短距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先設(shè)出與直線平行且與拋物線相切的直線的切點(diǎn)，對(duì)拋物線方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得答案．

解答： 解：設(shè)與直線y=2x+5平行，且與拋物線y²=4x相切的直線的切點(diǎn)為（m，n），
由y²=4x兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到2y•y′=4，y′=

2

y

，
由

2

n

=2，n=1，又n²=4m，得m=

1

4

，
解得切點(diǎn)P（

1

4

，1）．
則點(diǎn)P到直線y=2x+5的最短距離d=

|2× 1 4 -1+5|

5

=

9 5

10

．
故答案為：

9 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查解決切線問(wèn)題，優(yōu)先考慮切點(diǎn)，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．