Question

證明：函數(shù)f（x）=x²+1是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：結(jié)合已知條件，檢驗(yàn)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，檢驗(yàn)f（-x）=（-x）²+1=f（x），進(jìn)而可證明f（x）是偶函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，只要證明當(dāng)任意x₁＜x₂∈[0，+∞）都有f（x₁）＜f（x₂）證明函數(shù)的單調(diào)性

解答： 證明：∵f（x）的定義域?yàn)镽，
∴它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=（-x）²+1=f（x）
所以f（x）是偶函數(shù)．
任取x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁與x₂∈[0，+∞），則f（x₁）-f（x₂）=x₁²+1-（x₂²+1）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的證明，主要還是定義的基本運(yùn)用，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法是解決本題的關(guān)鍵