設(shè)函數(shù)f(x)=-a
x2+1
+x+a,x∈(0,1],a∈R*
(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),由于f(x)在(0,1]上是增函數(shù),f'(x)≥0在(0,1]上恒成立,從而可解;
(2)由(1)知①當(dāng)0<a≤
2
時(shí),f(x)在(0,1
]上是增函數(shù);當(dāng)a>
2
時(shí),利用求最值的方法求最值.
解答:解:(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f'(x)=-a•
x
x2+1
+1,∵f'(x)在(0,1]上是增函數(shù),∴f'(x)≥0在(0,1]上恒成立.即a≤
x2+1
x
=
1+
1
x2
在(0,1
]上恒立,而0<x≤1時(shí),
1+
1
x2
2
,∴0<a≤
2

(2)由(1)知
①當(dāng)0<a≤
2
時(shí),f(x)在(0,1
]上是增函數(shù),∴[f(x)]max=f(1)=(-
2
-1)a+1
②當(dāng)a>
2
時(shí),令f′(x)=0,x=
1
a2-1
∈(0,1
],∴0<x<
1
a2-1
時(shí)f'(x)>0
1
a2-1
<x≤1時(shí)f'(x)<0,∴[f(x)]max=f(
1
a2-1
)=a-
a2-1

綜上知,當(dāng)0<a≤
2
時(shí),[f(x)]max=-(
2
-1)a+1;當(dāng)a>
2
時(shí),[f(x)]max=a-
a2-1
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義,考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,考查了不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向,利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值.涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng).
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