（14分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：.

 

【答案】

（1） （2）   見解析；

【解析】第一問中利用：設(shè)橢圓C的方程為 （＞＞）

拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為， 

則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即      

由，∴

第二問中，易求出橢圓C的右焦點(diǎn)，

設(shè)，由題意，顯然直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得      

借助于韋達(dá)定理和向量關(guān)系得到坐標(biāo)關(guān)系，消元法求解得到

（1）解：設(shè)橢圓C的方程為 （＞＞），……1分

拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為，  ………………2分

則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即       ………………3分

由，∴，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為         ………………6分

（2）證明：易求出橢圓C的右焦點(diǎn)， ……………7分

設(shè)，由題意，顯然直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，

得            …………9分

∴，           ………………10分

又，，，，，而 ， ，

即，

∴，，             ……………………12分

所以  ………14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點(diǎn)P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點(diǎn)E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E，求證：直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在（II）的條件下，過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn)，求
OS
•
OT
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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