Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-ax2+b在x=-2處有極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間[-3，3]上有且僅有一個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又因為在x=-2處有極值，故f'（-2）=0求出a的值
（2）由（1）可求出f（x）的極大值和極小值，根據單調區(qū)間和極值的正負可求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ax
由題意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（0，+∞），
單調遞減區(qū)間是（-2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

1

3

x3+x2+b，
f（-2）=

4

3

+b為函數f（x）極大值，f（0）=b為極小值．
∵函數f（x）在區(qū)間[-3，3]上有且僅有一個零點，
∴

f(-3)≤0 f(0)＞0

或

f(3)≥0 f(-2)＜0

或

f(-3)＞0 f(3)＜0

或

f(-2)=0 f(3)＜0

或

f(-3)＞0 f(0)=0

，
即

18+b≥0 4 3 +b＜0

，
∴-18≤b＜-

4

3

，即b的取值范圍是[-18，-

4

3

)．

點評：本題主要考查通過求函數的導數確定函數單調區(qū)間的問題．當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．