老師告訴學(xué)生小明說(shuō)，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式，則P點(diǎn)的軌跡必過(guò)△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時(shí)P點(diǎn)的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為=    ．（用O，A，B，C四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）
【答案】分析：由題意可得：•（ +）=0，即 與λ（ +）垂直，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則 =，可得λ（ +）=，即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)P在BC的垂直平分線(xiàn)上，即可得到答案．
解答：解：由題意可得：•（ +）=-||+||=0
∴與λ（ +）垂直
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則 =，
所以，即，
所以λ（ +）=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183159224710799/SYS201310241831592247107012_DA/27.png">與λ（ +）垂直
所以，
又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線(xiàn)上，即P的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要借助于類(lèi)比推理重點(diǎn)考查了平面向量的加減法運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，并且也考查了三角形的五心等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

老師告訴學(xué)生小明說(shuō)，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點(diǎn)的軌跡必過(guò)△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時(shí)P點(diǎn)的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為
OP
=
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
．（用O，A，B，C四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

老師告訴學(xué)生小明說(shuō)，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點(diǎn)的軌跡必過(guò)△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時(shí)P點(diǎn)的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為
OP
=______．（用O，A，B，C四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年上海市上海中學(xué)高三數(shù)學(xué)綜合練習(xí)試卷（1）（解析版） 題型：解答題

老師告訴學(xué)生小明說(shuō)，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式，則P點(diǎn)的軌跡必過(guò)△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時(shí)P點(diǎn)的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為=    ．（用O，A，B，C四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

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