Question

若直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0），且交拋物線(xiàn)于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：x₁x₂=

p2

4

；
（2）求∠AOB的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線(xiàn)l：x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²=2p（my+

p

2

），利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論；
（2）由題意，AB⊥x軸時(shí)，∠AOB最大，此時(shí)∠AOB=π-arccos

3

5

，又∠AOB為鈍角，故可求∠AOB的取值范圍．

解答： （1）證明：設(shè)直線(xiàn)l：x=my+

p

2

，
代入y²=2px，可得y²=2p（my+

p

2

），即y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∴4p²x₁x₂=（y₁y₂）²，
∴x₁x₂=

p2

4

；
（2）解：由題意，AB⊥x軸時(shí)，∠AOB最大，此時(shí)A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），
∴cos∠AOB=

2( p2 4 +p2)-4p2

2•( p2 4 +p2)

=-

3

5

，
∴∠AOB=π-arccos

3

5

，
∵∠AOB為鈍角，
∴∠AOB的取值范圍為（

π

2

，π-arccos

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．