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如圖：三棱柱中，,，側棱底面，為的中點，為邊上的動點。

（1）若為中點，求證：平面
（2）若，求四棱錐的體積。

（1）連接,得,進一步得到平面。
（2），的體積為

解析試題分析：（1）若為中點，連接,則DP是三角形的中位線，即,又所以，平面。
（2）若，在平面內，作,因為 , 三棱柱中，,，側棱底面，所以，M是BC的中點，，連MP知，,，所以，P到平面的距離，即P到AC的距離，故四棱錐的體積為。
考點：正三棱柱的幾何特征，平行關系，垂直關系，體積計算。
點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關系、垂直關系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點M在線段EC上.

(I)當點M為EC中點時，求證: 面;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC；
(III)若平面說BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時，求三棱錐M-BDE的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形中，，∥，，，將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求幾何體的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD＝2AD＝2PD＝8，AB＝2DC＝4．

（Ⅰ）設M是PC上一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M是PC的中點，求棱錐P－DMB的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，是邊長為2的正方形，⊥平面,,// 且.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）求幾何體的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知一個幾何體的三視圖如圖所示。（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點在正視圖中所示位置：為所在線段中點，為頂點，求在幾何體表面上，從點到點的最短路徑的長。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB．

（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）若點Q是線段PA上任一點，判斷BD、DQ的位置關系，并證明結論；
（3）若AB=2，求三棱錐B﹣CED的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示,墩的上半部分是側面全等的四棱錐P－EFGH,下半部分是長方體ABCD－EFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正(主)視圖和俯視圖．
（Ⅰ）求該安全標識墩的體積；
（Ⅱ）證明:直線BD平面PEG．

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