Question

（本小題滿分14分）對于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一個不動點，已知函數(shù)，

（1）當時，求函數(shù)的不動點；

（2）對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標是的不動點，且兩點關于直線對稱，求的最小值

 

Answer 1

（1）和；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由題意是的不動點，所以，得或，所以函數(shù)的不動點為和

（2）函數(shù)恒有兩個相異的不動點，即恒有兩個不等的實根，即對恒成立，即，得的取值范圍為

（3）由題意A,B兩點的直線斜率為1，所以，，中點為，則的坐標為，

∴，∴，由均值不等式得當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為

試題解析: 【解析】
（1），是的不動點，

則，得或，函數(shù)的不動點為和

（2）∵函數(shù)恒有兩個相異的不動點，∴恒有兩個不等的實根，對恒成立，

∴，得的取值范圍為

（3）由得，由題知，，

設中點為，則的坐標為，

∴，∴，

當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為

 

考點：一元二次不等式恒成立問題、均值不等式的應用.