Question

已知函數f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）試求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）=|x-4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根據絕對值不等式，對|x-4|+|x+5|放縮，注意等號成立的條件，
（Ⅱ）把關于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，轉化為關于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函數f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）+（x+5）|=|2x+1|，
當且僅當（x-4）（x+5）≥0，即x≤-5或x≥4時取等號．
所以若f（x）=|2x+1|成立，則x的取值范圍是（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）因為f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）-（x+5）|=9，
所以若關于x的不等式f（x）＜a的解集非空，則a＞f（x）_min=9，
即a的取值范圍是（9，+∞）．
點評：考查絕對值不等式|a+b|≤|a|+|b|，及等號成立的條件是a=b，求解問題（Ⅱ）體現了轉化的數學思想，屬中檔題．