Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)F．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過(guò)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)F'作拋物線(xiàn)c的兩條切線(xiàn)l₁和l₂，它們分別交拋物線(xiàn)C的另一條切線(xiàn)l₃于A，B兩點(diǎn)．
（i）若點(diǎn)F′恰好是點(diǎn)F關(guān)于-軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且l₃與拋物線(xiàn)c的切點(diǎn)恰好為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（如圖），求證：△ABF′的外接圓過(guò)點(diǎn)F；
（ii）試探究：若改變點(diǎn)F′的位置，或切線(xiàn)l₃的位置，或拋物線(xiàn)C的開(kāi)口大小，（i）中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個(gè)使（i）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的離心率為，可得，=，根據(jù)橢圓過(guò)拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)F．可知點(diǎn)F（0，1）滿(mǎn)足橢圓方程，再根據(jù)a²=b²+c²，即可求出a，b，c，得出橢圓方程．
（II）（i）只要能求出△ABF′的外接圓方程，再驗(yàn)證點(diǎn)F是否在圓上，命題就得證．可先求出三條切線(xiàn)方程，分別聯(lián)立，求三條切線(xiàn)交點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求△ABF′的外接圓方程，最后，把F點(diǎn)坐標(biāo)代入，看是否滿(mǎn)足方程即可．
（ii）命題可寫(xiě)出幾個(gè)，選最好證明的寫(xiě)，不妨寫(xiě)成：設(shè)F^′為拋物線(xiàn)外一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)F'作拋物線(xiàn)c的兩條切線(xiàn)l₁和l₂，分別交拋物線(xiàn)C的另一條切線(xiàn)l₃于A，B兩點(diǎn)，則：△ABF′的外接圓過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F．仿照（i），把三條切線(xiàn)方程設(shè)出，分別聯(lián)立，求三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再證，F(xiàn)^′，A，B，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，來(lái)證明命題．
解答：解：（I）由已知得F（0，1），設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則，b=1
橢圓的離心率為，可得，=，又∵a²=b²+c²，∴a=2，c=
∴橢圓方程為
（II）（i）依題意，點(diǎn)F^′的坐標(biāo)為（0，-1），過(guò)點(diǎn)F'且與拋物線(xiàn)c相切的直線(xiàn)斜率存在，
設(shè)其方程為y=kx-1．代入拋物線(xiàn)方程，消y，得x2-4kx+4=0，令△=0，得k=±1
則切線(xiàn)l₁和l₂方程分別為y=x-1和y=-x-1，又∵且l₃與拋物線(xiàn)c的切點(diǎn)恰好為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
∴l(xiāng)₃的方程為y=0．
由，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）
由，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0）
設(shè)△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+4F=0，則，解得
∴設(shè)△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²=1
：△ABF′的外接圓過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F．
（ii）使（i）中的結(jié)論成立的命題為：設(shè)F^′為拋物線(xiàn)外一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)F'作拋物線(xiàn)c的兩條切線(xiàn)l₁和l₂，分別交拋物線(xiàn)C的另一條切線(xiàn)l₃于A，B兩點(diǎn)，則△ABF′的外接圓過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F．
證明：不妨設(shè)拋物線(xiàn)方程為x²=2py，l_i分別與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3）
依題意，x₁，x₂，x₃中至少有兩個(gè)不為0，不妨設(shè)x₁≠0，x₂≠0．
∵故切線(xiàn)l_i的方程為y-y_i=（x-x_i），i=1，2，3
由，得F^′（，）
 由    得A（  ，）                  
   ，得B（  ，）
∴AF^′的垂直平分線(xiàn)方程為y-=-（x-），
    BF^′ 的垂直平分線(xiàn)方程為 y-=-（x-）
它們的交點(diǎn)為M（，）
又∵F（0，），AF的中點(diǎn)為N（，）
從而  =（ ，），=（ ，）
 =（）+•=0  
∴，∴AF^′，BF^′AF的垂直平分線(xiàn)教育一點(diǎn)M圓上，即△ABF′的外接圓過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，題目較難，須認(rèn)真考慮．