Question

已知函數(shù)f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx（0＜ω＜1），直線x=

π

3

s是f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值
（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到，若g（2α+

π

3

）=

6

5

，α∈（0，

π

2

），求sinα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），再由對稱軸得到2sin(

2π

3

ω+

π

6

)=±1，解出ω，再由ω的范圍，即可得到；
（2）由圖象變換規(guī)律，得到g（x）=2sin（

1

2

x+

π

2

），再由條件得到cos(α+

π

6

)=

3

5

．由α的范圍得到sin（α+

π

6

），再由sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]，運用兩角差的正弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx（0＜ω＜1）
=2（

1

2

cos2ωx+

3

2

sinωx）=2sin（2ωx+

π

6

），
由于直線x=

π

3

是函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)圖象的一條對稱軸，
所以 2sin(

2π

3

ω+

π

6

)=±1，
因此

2π

3

ω+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
則ω=

3

2

k+

1

2

(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以-

1

3

＜k＜

1

3

，
從而k=0．所以ω=

1

2

；
（2）由（1）知f(x)=2sin(x+

π

6

)，
由題意可得g(x)=2sin[

1

2

，即g（x）=2sin（

1

2

x+

π

2

），
即g(x)=2cos(

1

2

x)．
由g(2α+

π

3

)=2cos

1

2

(2α+

π

3

)=2cos(α+

π

6

)=

6

5

，得cos(α+

π

6

)=

3

5

．
又α∈(0，

π

2

)，

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，所以sin(α+

π

6

)=

4

5

，
所以sinα=sin[(α+

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角恒等變換及角的變換技巧，考查三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，掌握這些是迅速解題的關(guān)鍵．