Question

對于任意兩實數(shù)a，b，定義運算“⊕”如下：a⊕b=

a，a≤b b，a＞b

，設(shè)函數(shù)f（x）=log

1

2

（3x-2）⊕log₂x，若f（n）=-1，求實數(shù)n的值．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：需要分類討論，確定函數(shù)f（x）的解析式，再代入求出n的值，

解答： 解：∵f（x）=log

1

2

（3x-2）⊕log₂x，
∴

3x-2＞0 x＞0

，解得x＞

2

3

，
即函數(shù)f（x）的定義域為（

2

3

，+∞）
當(dāng)log

1

2

（3x-2）=-log₂x（3x-2）＞log₂x，
∴

1

3x-2

＞x，解得

2

3

＜x＜1，
∴f（x）=log

1

2

（3x-2）⊕log₂x=log₂x，
∵f（n）=-1，
∴l(xiāng)og₂n=-1，解得n=

1

2

（舍去）
當(dāng)log

1

2

（3x-2）=-log₂x（3x-2）≤log₂x，
∴

1

3x-2

≤x，解得x≥1，
∴f（x）=log

1

2

（3x-2）⊕log₂x=log

1

2

（3x-2），
∵f（n）=-1，
∴l(xiāng)og

1

2

（3n-2）=-1，解得n=

4

3

，
綜上所述，實數(shù)n的值為

4

3

點評：本題考查了新定義?及其對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，以及分類討論的能力，屬于中檔題．