Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的離心率為e，焦點為F的拋物線y²=2px與直線y=k（x-

p

2

）交于A，B兩點，且

丨AF丨

丨BF丨

=e，則k的值為（　�。�

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、±2

  2

• D、±2

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，可求得e=2，由

y2=2px y=k(x- p 2 )

可求得關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合

丨AF丨

丨BF丨

=2可求得A、B兩點縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，消掉它即可求得k的值．

解答： 解：雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的離心率為e=

4+12

2

=2．
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

消去x得：y²-

2p

k

y-p²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y1+y2= 2p k …① y1y2=-p2…②

，
又

丨AF丨

丨BF丨

=2，F(xiàn)（

p

2

，0），
∴0-y₁=2（y₂-0），
∴y₁=-2y₂代入①得：y₂=-

2p

k

；③
把y₁=-2y₂代入②得：y₂²=

p2

2

；④
對③兩端平方得：y₂²=

4p2

k2

⑤．
由④⑤得：k²=8．
∴k=±2

2

．
故選：C．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，屬于中檔題．