Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點，且在x=1處取得極大值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若方程f（x）=-

(2a+3)2

9

恰好有兩個不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的函數(shù)f（x），對任意α，β∈R，求證：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先確定C的值，再由極值確定a的取值范圍，（Ⅱ）結(jié)合圖象可知-

(2a+3)2

9

是極值；（3）實質(zhì)是求最值的差．

解答： 解：（I）由題意，f（0）=0，
∴c=0，
則f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=3（x-1）（x+

2a+3

3

），
因為當x=1時取得極大值，
所以

2a+3

3

＜-1，即a＜-3；
所以a的取值范圍為（-∞，-3）．
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，- 2a+3 3 ）	- 2a+3 3	（-- 2a+3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	-
f（x）	遞增	極大值-a-2	遞減	極小值 a+6 27 (2a+3)2	遞增

依題意得：

a+6

27

(2a+3)2=-

(2a+3)2

9

或-a-2=-

(2a+3)2

9

，
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函數(shù)f（x）=x³-9x²+15x．
（III）對任意的實數(shù)α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在區(qū)間[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）_最大值=7，f（x）_最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)與圖象及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．