Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率e=，一個焦點的坐標為（，0）．
（I）求橢圓C方程；
（II）設直線l：y=與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點T．當m變化時，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓的標準方程，根據題意可求得c，進而根據離心率求得a，進而根據b²=a²-c²求得b，則橢圓的方程可得．
（II）把直線方程與橢圓方程聯立，消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x，y），根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而求得|AB|的表達式，表示x和y，進而可知M的坐標，設T（t，0），根據MT⊥AB，可推斷出k_MT•k_AB=-1進而求得|MT|的表達式，根據三角形面積公式求得面積的表達式，根據m的范圍確定三角形面積的最大值．
解答：解：（I）依題意，設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0）
∵c=，e==∴a=2，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程是
（II）由
，∴．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x，y）
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2
|AB|==
x==-m，y=+m=m
∴M（-m，m）
設T（t，0），
∵MT⊥AB，
∴k_MT•k_AB==-1
∴．
∴=．
∵，
∴當m²=1，即m=±1時，S_△TAB取得最大值為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．靈活應用數形結合的思想、函數思想、等價轉化思想、分類討論思想解題．