Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=10，對任意n∈N^*有a_n+2=2a_n+1+3a_n成立．
（I）若{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，求λ的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）證明：對任意n∈N^*成立．

Answer 1

（I）解：設(shè)a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），則a_n+2=（μ-λ）a_n+1+λμa_n，
令，得或者，即λ=1或λ=-3；
（II）解：由（I）知 a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），而a₂+a₁=12，
故a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•3^n-1=12•3^n-1=4•3ⁿ，①
同理a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n）有a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）•（-1）^n-1=4•（-1）^n-1，②
①-②得 4a_n=4•3ⁿ-4•（-1）^n-1，即a_n=3ⁿ+（-1）ⁿ．
（III）證明：當n=2k（k∈N^*）時，注意到3^2k+1-3^2k-1=2•3^2k-1＞0，于是==．
顯然當n=1時，不等式成立；對于n≥2，
當n為奇數(shù)時，===；
當n為偶數(shù)時，===．
綜上 對任意n∈N^*有成立．
分析：（I）根據(jù){a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，可設(shè)a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），拆開與a_n+2=2a_n+1+3a_n比較建立方程組，解之即可求出所求；
（II）根據(jù)（I）可分別求出{a_n+1+a_n}與{a_n+2-3a_n+1}的通項公式，將兩通項公式相加即可求出所求；
（III）討論n的奇偶，然后利用放縮法進行證明不等式即可．
點評：本題主要考查了數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了計算能力和利用放縮法證明不等式，屬于難題．