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12.已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通過對其化驗病毒DNA來確定是否感染.下面是兩種化驗方案:方案甲:逐個化驗,直到能確定感染為止.方案乙:將6只分為兩組,每組三個,并將它們混合在一起化驗,若存在病毒DNA,則表明感染在這三只當中,然后逐個化驗,直到確定感染為止;若結果不含病毒DNA,則在另外一組中逐個進行化驗.
(1)求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率.
(2)首次化驗化驗費為10元,第二次化驗化驗費為8元,第三次及其以后每次化驗費都是6元,列出方案甲所需化驗費用的分布列,并估計用方案甲平均需要化驗費多少元?

分析 (1)方案乙中所需化驗次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況:第一種,先化驗一組,結果不含病毒DNA,再從另一組任取一個樣品進行化驗,可得恰含有病毒的概率為\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}×\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}.第二種,先化驗一組,結果含有病毒DNA,再從中逐個化驗,恰第一個樣品含有病毒的概率為\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}×\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}.利用互斥事件的概率計算公式即可得出.
(2)設方案甲化驗的次數(shù)為ξ,則ξ可能的取值為1,2,3,4,5,對應的化驗費為η元,利用相互獨立事件的概率計算公式可得:P(ξ=1)=P(η=10),P(ξ=2)=P(η=18),P(ξ=3)=P(η=24),P(ξ=4)=P(η=30),P(ξ=5)=P(η=36).

解答 解:(1)方案乙中所需化驗次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況:
第一種,先化驗一組,結果不含病毒DNA,再從另一組任取一個樣品進行化驗,
則恰含有病毒的概率為\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}×\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}=\frac{1}{6}
第二種,先化驗一組,結果含有病毒DNA,再從中逐個化驗,
恰第一個樣品含有病毒的概率為\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}×\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}=\frac{1}{6}
∴依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率為\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}
(2)設方案甲化驗的次數(shù)為ξ,則ξ可能的取值為1,2,3,4,5,對應的化驗費為η元,
P(ξ=1)=P(η=10)=\frac{1}{6},
P(ξ=2)=P(η=18)=\frac{5}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{6}
P(ξ=3)=P(η=24)=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6},
P(ξ=4)=P(η=30)=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}
P(ξ=5)=P(η=36)=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
∴方案甲所需化驗費用η的分布列為:

η1018243036
P\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{3}
用方案甲平均需要化驗費E(η)=10×\frac{1}{6}+18×\frac{1}{6}+24×\frac{1}{6}+30×\frac{1}{6}+36×\frac{1}{3}=\frac{77}{3}(元).

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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