Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函數(shù)，且f（-1）=

1

3

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，f（-x）=f（x），
（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解．
（3）用單調(diào)性定義證明判斷．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-1）=

1

3

，a-

2

b+2

=0，a-

2

b+2

=

1

3

，解得：a=1，b=1
即：f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

，
（2）y=1-

2

1 2x +1

，解得：

1

2x

=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故值域?yàn)椋海?1，1），
（3）f（x）在R上單調(diào)遞減，
證明：設(shè)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1 2x1 - 1 2x2

(1+ 1 2x1 )(1+ 1 2x2 )

，
∵x₁＜x₂∴

1

2x1

+1＞0，

1

2x2

+1＞0，

1

2x1

-

1

2x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
f（x）在R上單調(diào)遞減，

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合考查了函數(shù)的定義，性質(zhì)的綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．