Question

已知函數(shù)
（1）若方程內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)、且.求證：（其中正常數(shù)）.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）方程內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在 上的單調(diào)性與極值并結(jié)合邊界值來(lái)確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)、知方程 
有兩根    
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044926398824.png" style="vertical-align:middle;" /> ,
所以   
 
 
只需證明：在上恒成立即可.
試題解析：（1）由，
求導(dǎo)數(shù)得到：
，故在有唯一的極值點(diǎn)
，且知
故上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足：

故所求m的取值范圍為.                             （6分）
（2）又有兩個(gè)實(shí)根
則
兩式相減得到：
于是


，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數(shù)，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.         （14分）